Exerciții și probleme propuse

1 Elemente de simulare

Exercițiul 1.1 (Repartiția normală - metoda respingerii 2) Plecând cu o propunere de tip Cauchy \(C(0, 1)\) vrem să generăm, cu ajutorul metodei acceptării-respingerii, un eșantion de volum \(n\) dintr-o populație normală standard. Descrieți metoda și algoritmul aferent.

Exercițiul 1.2 (Sumă de două uniforme independente) Fie \(X_1\) și \(X_2\) două variabile aleatoare independente repartizate \(\mathcal{U}([0,1])\). Determinați repartiția variabilei aleatoare \(U =X_1 + X_2\).

Exercițiul 1.3 (Exemplu de simulare repartiția Uniformă) Fie \(X_1\) și \(X_2\) două variabile aleatoare independente repartizate \(\mathrm{Exp}(\lambda)\). Arătați că variabila aleatoare \(Y=\frac{X_1}{X_1+X_2}\) este repartizată uniform \(\mathcal{U}(0,1)\).

Exercițiul 1.4 (Caracterizare repartiția Cauchy) Fie \(X\) și \(Y\) două variabile aleatoare independente repartizate \(\mathcal{N}(0,1)\). Arătați că \(\frac{X}{Y}\sim C(0,1)\).

Exercițiul 1.5 (Metodă de generare a observațiilor Poisson) Fie \((E_n)_{n\geq 1}\) un șir de variabile aleatoare independente și repartizate \(\mathcal{E}(\lambda)\).

  1. Pentru \(n\geq 1\) definim

\[ f_n(x) = e^{-\lambda x}\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n - 1)!}\mathbf{1}_{\{x\geq 0\}}, \quad x\in\mathbb{R.} \]

Arătați că \(f_n\) este o densitate de repartiție pentru orice \(n\geq 1\). Repartiția a cărei densitate este \(f_n\) se numește repartiția Gamma de parametrii \(n\geq 1\) și \(\lambda\) și se notează cu \(\Gamma(n, \lambda)\).

  1. Fie \(S_n = \sum_{i=1}^{n}E_i\) pentru \(n\geq 1\). Arătați că \(S_n\) este repartizată \(\Gamma(n, \lambda)\).

  2. Considerăm variabila aleatoare

\[ N = \max\{n\geq 1\,|\,S_n\leq 1\} \]

cu convenția \(N = 0\) dacă \(X_1>1\). Arătați că variabila aleatoare \(N\) este repartizată \(Pois(\lambda)\).

Exercițiul 1.6 (Caracterizare repartiția \(B(\alpha,\beta)\)) Fie \(X\) și \(Y\) două variabile aleatoare independente repartizate \(\Gamma(\alpha, a)\) și respectiv \(\Gamma(\beta, a)\). Arătați că \(\frac{X}{X+Y}\sim B(\alpha,\beta)\). Propuneți o metodă de simulare din repartiția \(B(\alpha,\beta)\) și descrieți algoritmul.

Exercițiul 1.7 Considerăm cuplul de variabile aleatoare \((X,Y)\) care este repartizat cu densitatea de repartiție \[ f(x,y) = yx^{y-1}e^{-y}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(y)\mathbf{1}_{(0,1)}(x) \] a) Determinați repartiția lui \(Y\) și propuneți o metodă de simulare pentru aceasta. b) Determinați densitatea condiționată a lui \(X\) la \(Y=y\) și calculați \(\mathbb{P}(X\leq x|Y=y)\). c) Propuneți o metodă de simulare pentru o observație din densitatea \(f(x,y)\) și scrieți un cod R care să permită acest lucru.

Exercițiul 1.8 Considerăm cuplul de variabile aleatoare \((X,Y)\) care este repartizat cu densitatea de repartiție \[ f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-\frac{y^2x}{2}-\sqrt{x}}\mathbf{1}_{x>0}. \] a) Determinați repartiția condiționată a lui \(Y\) la \(X = x\). b) Determinați repartiția lui \(\sqrt{X}\). c) Propuneți o metodă de simulare pentru o observație din densitatea \(f(x,y)\) și scrieți un cod R care să permită acest lucru.

Exercițiul 1.9 Fie \(X\) o variabilă aleatoare cu funcția de repartiție \(F\) bijectivă.

  1. Cum putem genera cu ajutorul metodei respingerii observații din repartiția lui \(X\) condiționată la \(X>a\)? Ce se întâmplă atunci când \(a\) este mare ? Scrieți un cod R care să permită simularea unei observații din repartiția lui \(X\) condiționată la \(X>a\), unde variabila aleatoare \(X\) este repartizată \(\mathrm{Exp}(1)\) iar \(a=4\).

  2. Fie \(U\sim\mathcal{U}[0,1]\) și \(T\) definită prin

\[ T = F^{-1}\left(F(a) + (1 - F(a)) U \right). \]

Determinați funcția de repartiție a lui \(T\) și găsiți o metodă de simulare a repartiției lui \(X\) condiționată la \(X>a\). Care dintre cele două metode este de preferat ?