Proiect de laborator

Grupele 241 și 243

Precizări importante

  1. Proiectele se realizează în echipă de 2-4 persoane. Fiecare echipa va desemna un lider care va fi precizat în documentație.

  2. Liderul echipei va trimite pe adresa simona.cojocea@fmi.unibuc.ro până la data de 1 februarie 2025 ora 22:00 o singură arhivă care va conține fișierele sursă ale proiectului împreună cu documentația.

  3. Documentația este obligatorie și lipsa ei atrage necorectarea proiectului.

  4. Documentația trebuie să conțină:

  • numele membrilor echipei
  • descrierea problemei
  • aspecte teoretice folosite în rezolvarea problemei care depășesc nivelul cursului
  • reprezentări grafice și orice altă formă multimedia oportună proiectului
  • precizări privind pachete software folosite și surse de inspirație
  • codul și comentarea acestuia, precum și a soluției prezentate
  • identificarea unor eventuale dificultăți în realizarea cerințelor
  • probleme care au rămas deschise în urma implementării actuale
  • concluzii

Documentația se dorește o prezentare completă a proiectului astfel încât evaluarea acestuia să poată fi făcută facil și nu o documentație uzuală pentru un produs software.

  1. Dacă la oricare din cele 3 proiecte se realizează cerințe suplimentare față de cele date, cerințe care să fie relevante, se poate obține un bonus de 5p, fără însă ca nota finală asociată laboratorului să poată depăși 50p.

Teme propuse

Mai jos regăsiți posibile teme pentru proiect:

Tema 1

Se consideră o activitate care presupune parcurgerea secvențială a \(n\) etape (de exemplu, rezolvarea celor \(n\) subiecte de la examenul de Statistică, care ar fi date studenților succesiv, numai după finalizarea subiectului curent). Timpul necesar finalizării etapei \(i\) de către o persoană \(A\) este o variabilă aleatoare \(T_i\sim\mathrm{Exp}(\lambda_i)\). După finalizarea etapei \(i\), \(A\) va trece în etapa \(i+1\) cu probabilitatea \(\alpha_i\) sau va opri lucrul cu probabilitatea \(1-\alpha_i\). Fie \(T\) timpul total petrecut de persoana \(A\) în realizarea activității respective.

  1. Construiți un algoritm în R care simulează \(10^6\) valori pentru v.a. \(T\) și în baza acestora aproximați \(\mathbb{E}[T]\). Reprezentați grafic într-o manieră adecvată valorile obținute pentru \(T\). Ce puteți spune despre repartiția lui \(T\)?

  2. Calculați valoarea exactă a lui \(\mathbb{E}[T]\) și comparați cu valoarea obținută prin simulare.

  3. În baza simulărilor de la 1) aproximați probabilitatea ca persoana \(A\) să finalizeze activitatea.

  4. În baza simulărilor de la 1) aproximați probabilitatea ca persoana \(A\) să finalizeze activitatea într-un timp mai mic sau egal cu \(\sigma\).

  5. În baza simulărilor de la 1) determinați timpul minim și respectiv timpul maxim în care persoana \(A\) finalizează activitatea și reprezentați grafic timpii de finalizare a activității din fiecare simulare. Ce puteți spune despre repartiția acestor timpi de finalizare a activității?

  6. În baza simulărilor de la 1) aproximați probabilitatea ca persoana \(A\) să se oprească din lucru înainte de etapa \(k\), unde \(1<k\leq n\). Reprezentați grafic probabilitățile obținute într-o manieră corespunzătoare. Ce puteți spune despre repartiția probabilităților obținute?

Tema 2

Construiți o aplicație Shiny (Shiny - Welcome to Shiny) în care să prezentați cele 5 formulări alternative pentru repartiția Negativ Binomială (Negative binomial distribution - Wikipedia), cu toate parametrizările cunoscute și cu repartițiile înrudite, împreună cu exemple de utilizare a repartiției. În realizarea temei se urmăresc în mod prioritar următoarele aspecte:

  1. Reprezentarea grafică a funcției de masă și respectiv a funcției de repartiție cu diferiți parametri;

  2. Construirea unei animații care să pună în evidență schimbarea formei funcțiilor de la 1) pe măsură ce parametrii se modifică (vezi Wikipedia);

  3. Ilustrarea unor exemple de aplicații în care repartiția Negativ Binomială este relevantă.

Tema 3

Construiți o aplicație Shiny (Shiny - Welcome to Shiny) în care să reprezentați grafic funcțiile de repartiție pentru următoarele variabile aleatoare:

  1. \(X, 3-2 X, X^2, \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2\), unde \(X, X_1, X_2 \ldots X_n \text { i.i.d. } \sim N(0,1), n \in \mathbb{N}\) fixat

  2. \(X, 3-2 X, X^2, \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2\), unde \(X, X_1, X_2 \ldots X_n \text { i.i.d. } \sim N(\mu,\sigma^2), \mu \in \mathbb{R}, \sigma>0, n \in \mathbb{N}\) fixat

  3. \(X, 2+5 X, X^2, \sum_{i=1}^n X_i\), unde \(X, X_1, X_2 \ldots X_n \text { i.i.d. } \sim \operatorname{Exp}(\lambda), \lambda>0, n \in \mathbb{N}\) fixat

  4. \(X, 3 X-2, X^2, \sum_{i=1}^n X_i\), unde \(X, X_1, X_2 \ldots X_n \text { i.i.d. } \sim \operatorname{Pois}(\lambda), \lambda>0, n \in \mathbb{N}\) fixat

  5. \(X, 5 X-4, X^3, \sum_{i=1}^n X_i\), unde \(X, X_1, X_2 \ldots X_n \text { i.i.d. } \sim \operatorname{Binom}(r, p), r \in \mathbb{N}, p \in(0,1), n \in \mathbb{N}\) fixat.