Exerciții și probleme propuse

Această pagină prezintă o serie de exerciții și probleme de probabilități care ilustrează noțiunile prezentate la curs.

Câmp de probabilitate, operații cu evenimente

Exercițiul 1 Într-o urnă se află bile albe și negre într-o proporție oarecare. Se efectuează la întâmplare \(5\) extrageri cu întoarcere și considerăm \(A_i\) evenimentul, din câmpul de evenimente atașat experimentului, ce constă în obținerea unei bile albe la extragerea \(i\), \(1 \leq i \leq 5\). Să se exprime următoarele evenimente:

  1. \(A\) - numai o bilă este albă;

  2. \(B\) - cel puțin o bilă este negră;

  3. \(C\) - obținerea a cel mult două bile albe;

  4. \(D\) - obținerea a cel puțin trei bile albe;

  5. \(E\) - numai două bile sunt negre.

Exercițiul 2 Să presupunem că într-o școală situația apartenenței la o rețea socială este următoarea: \(60\%\) dintre elevi nu au nici cont de Facebook nici cont de Twitter, \(20\%\) au cont de Twitter și \(30\%\) au cont de Facebook. Care este probabilitatea ca elevii să aibă cont de Facebook sau de Twitter ? Dar cont de Facebook și de Twitter ? Dar doar cont de Facebook/Twitter?

Exercițiul 3 Numerele \(1,2,\ldots, 100\) se așează la întâmplare

  1. Care este probabilitatea ca numerele \(1\) și \(2\) să fie așezate în ordine crescătoare și consecutive ?

  2. Care este probabilitatea ca numerele \(k\), \(k+1\) și \(k+2\) (\(1\leq k \leq n-2\)) să fie așezate în ordine crescătoare și consecutive ?

Exercițiul 4 Într-un sertar se află șosete roșii și negre. Atunci când două șosete sunt scoase la întâmplare, probabilitatea ca ambele să fie de culoare roșie este \(\frac{1}{2}\).

  1. Care este numărul minim de șosete din sertar astfel ca proprietatea din ipoteză să fie îndeplinită?

  2. Care este numărul minim de șosete din sertar dacă numărul de șosete negre este par?

Exercițiul 5 Zece cartonașe pe care sunt scrise cifrele \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\) și \(9\) sunt puse într-un bol. Cinci cartonașe sunt extrase la întâmplare și sunt așezate în rând în ordinea extragerii. Care este probabilitatea ca numărul de cinci cifre extras să fie divizibil cu 495?

Exercițiul 6 Efectuăm aruncări succesive a două zaruri echilibrate și suntem interesați în găsirea probabilității evenimentului ca suma \(5\) (a fețelor celor două zaruri) să apară înaintea sumei \(7\). Pentru aceasta presupunem că aruncările sunt independente.

  1. Calculați pentru început probabilitatea evenimentului \(E_n\): în primele \(n-1\) aruncări nu a apărut nici suma \(5\) și nici suma \(7\) iar în a \(n\)-a aruncare a apărut suma \(5\). Concluzionați.

  2. Aceeași întrebare, dar înlocuind \(5\) cu \(2\).

Exercițiul 7 Într-un oraș sunt 10000 de biciclete astfel încât fiecare dintre acestea are un număr de înregistrare de la 1 la 10000 (nu sunt două biciclete cu același număr). Care este probabilitatea ca numărul de înmatriculare al bicicletei pe care am ales-o la întâmplare să nu conțină cifra 8?

Exercițiul 8 Nouă pasageri urcă la bordul unui tren care are trei vagoane. Fiecare pasager alege la întâmplare vagonul în care vrea să stea. Care este probabilitatea ca:

  1. vor fi trei persoane în primul vagon ?
  2. vor fi câte trei persoane în fiecare vagon ?
  3. vor fi două persoane în într-un vagon, trei în altul și patru în vagonul rămas ?

Exercițiul 9 Presupunem că jucătorul A are două zaruri cu șase fețe, iar jucătorul B are un zar cu doisprezece fețe. Jucătorul cu cel mai mare punctaj câștigă (avem remiză în caz de egalitate). Este jocul echilibrat (probabilitatea ca A să câștige este egală cu cea ca A să piardă)? Se va calcula atât probabilitatea ca A să câștige cât și probabilitatea unei remize.

Probabilități condiționate

Exercițiul 10 Se dorește verificarea fiabilității unui test de pentru depistarea nivelului de alcool al automobiliștilor. În urma studiilor statistice pe un număr mare de automobiliști, s-a observat că în general \(0.5\%\) dintre aceștia depășesc nivelul de alcool autorizat. Niciun test nu este fiabil \(100\%\). Probabilitatea ca testul considerat să fie pozitiv atunci când doza de alcool autorizată este depășită precum și probabilitatea ca testul să fie negativ atunci când doza autorizată nu este depășită sunt egale cu \(p=0.99\).

  1. Care este probabilitatea ca un automobilist care a fost testat pozitiv să fi depășit în realitate nivelul de alcool autorizat ?

  2. Cât devine valoarea parametrului \(p\) pentru ca această probabilitate să fie de \(95\%\) ?

  3. Un polițist afirmă că testul este mai fiabil sâmbăta seara (atunci când tinerii ies din cluburi). Știind că proporția de automobiliști care au băut prea mult în acest context este de \(30\%\), determinați dacă polițistul are dreptate.

Exercițiul 11 O urnă conține \(r\) bile roșii și \(b\) bile albastre. O bilă este extrasă la întâmplare din urnă, i se notează culoarea și este întoarsă în urnă împreună cu alte \(d\) bile de aceeași culoare. Repetăm acest proces la nesfârșit. Calculați:

  1. Probabilitatea ca a doua bilă extrasă să fie albastră.

  2. Probabilitatea ca prima bilă să fie albastră știind că a doua bilă este albastră.

  3. Fie \(B_n\) evenimentul ca a \(n\)-a bilă extrasă să fie albastră. Arătați că \(\mathbb{P}(B_n)=\mathbb{P}(B_1)\), \(\forall\, n\geq1\).

  4. Probabilitatea ca prima bilă este albastră știind că următoarele \(n\) bile extrase sunt albastre. Găsiți valoarea limită a acestei probabilități.

Exercițiul 12 Un profesor decide să termine repede examenul oral de Probabilități și propune pentru aceasta următorul joc: studentul care dă examenul dispune de \(4\) bile, două albe și două negre, pe care acesta trebuie să le distribuie în două urne așa încât fiecare urnă să conțină cel puțin o bilă. Profesorul alege arbitrar una din cele două urne și extrage o bilă la întâmplare. Studentul trece examenul dacă și numai dacă bila extrasă este neagră. Cum ar trebui să distribuie studentul bilele în urne așa încât acesta să își maximizeze șansele de succes ?

Exercițiul 13 Într-o urnă sunt \(24\) bile albe și \(9\) bile negre. Se extrag pe rând \(3\) bile fără a pune bila extrasă înapoi în urnă. Care este probabilitatea ca bilele să fie extrase în ordinea alb, alb, negru ? dar alb, negru, alb ? dar probabilitatea ca \(2\) din cele \(3\) bile extrase să fie albe ?

Exercițiul 14 În lucrarea Mathematical games din revista Scientific American numărul 200 (pag. 164-174), Martin Gardner a formulat următoarea problemă:

  1. O familie are doi copii. Care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți știind că cel puțin unul dintre copii este băiat ? Care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți știind că cel mai tânăr este băiat ?

  2. O familie are doi copii. Să se determine probabilitatea ca ambii copii să fie de sex feminin știind că cel puțin unul dintre ei este fata născută iarna. Vom presupune că avem șanse egale ca un copil să se fi născut în oricare din cele patru anotimpuri și că între sexul copilului și anotimp nu există nicio legătură.

Exercițiul 15 Un bărbat vrea să își cumpere un obiect (de exemplu o mașină sau o casă) care costă \(N\) unități monetare. Să presupunem că el are economisit un capital de \(0 < k < N\) unități monetare și încearcă să câștige restul jucând un joc de noroc cu managerul unei bănci. Jocul este următorul: bărbatul aruncă o monedă echilibrată în mod repetat iar dacă moneda pică cap (\(H\)) atunci managerul îi dă o unitate monetară, în caz contrar bărbatul plătește o unitate monetară băncii. Jocul continuă până când unul din două evenimente se realizează: sau bărbatul câștigă suma necesară și își cumpără obiectul dorit sau pierde banii și ajunge la faliment. Ne întrebăm care este probabilitatea să ajungă la faliment?

Variabile aleatoare discrete

Exercițiul 16 Fie \(X\) o variabilă aleatoare a cărei repartiție este:

\[ X\sim\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 0.3 & 0.2 & 0.5 \end{array}\right) \]

Să se scrie repartițiile variabilelor \(3X+7\), \(X^2\), \(X^3\), \(X+X^2\) și să se calculeze probabilitățile \(\mathbb{P}\left(X>-\frac{1}{3}\right)\) și \(\mathbb{P}\left(X<\frac{1}{4}|X\geq -\frac{1}{2}\right)\).

Exercițiul 17 Fie \(X\) o variabilă aleatoare cu valori în \(\mathbb{N}\), așa încât \(p_n=\mathbb{P}(X=n)>0\) pentru toți \(n\in\mathbb{N}\).

  1. Arătați că pentru \(\lambda>0\) următoarele afirmații sunt echivalente: i) \(X\) este o variabilă Poisson de parametru \(\lambda\) ii) Pentru toți \(n\geq1\) avem \(\frac{p_n}{p_{n-1}}=\frac{\lambda}{n}\)

  2. Dacă \(X\sim\mathrm{Pois}(\lambda)\) determinați i) Valoarea \(k\) pentru care \(\mathbb{P}(X=k)\) este maximă. ii) Valoarea lui \(\lambda\) care maximizează \(\mathbb{P}(X=k)\), pentru \(k\) fixat.

Exercițiul 18 Fie \(X\) o variabilă discretă astfel încât \(\mathbb{P}(X=k)=\frac{(1-p)^k}{-k\log(p)}\) dacă \(k\geq 1\) și \(\mathbb{P}(X=0)=0\), cu \(0<p<1\). Să se calculeze \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathbb{E}[X^2]\) și \(Var[X]\).

Exercițiul 19 Bobby Fischer și Boris Spassky joacă un meci de șah în care primul jucător care câștigă o partidă câștigă și meciul. Regula spune că după 10 remize succesive meciul se declară egal. Știm că o partidă poate fi câștigată de Fischer cu probabilitatea de 0.4, câștigată de Spassky cu probabilitatea de 0.3 și este remiză cu probabilitatea de 0.3, independent de rezultatele din partidele anterioare.

  1. Care este probabilitatea ca Fischer să câștige meciul?

  2. Care este funcția de masă a duratei meciului (durata se măsoară în număr de partide jucate)?

Exercițiul 20 Un administrator de reprezentanță de mașini comandă uzinei Dacia \(N\) mașini, numărul aleator \(X\) de mașini pe care îl poate vinde reprezentanța sa într-un an fiind un număr întreg între \(0\) și \(n\geq N\), toate având aceeași probabilitate. Mașinile vândute de administrator îi aduc acestuia un beneficiu de \(a\) unități monetare pe mașină iar mașinile nevândute îi aduc o pierdere de \(b\) unități. Calculați valoarea medie a câștigului \(G\) reprezentanței de mașini și deduceți care este comanda optimă.

Exercițiul 21 Calculați \(\mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X])\) știind că \(X\) este o variabilă aleatoare repartizată binomial cu \(\mathbb{E}[X]\notin \mathbb{N}\) și \(\mathbb{E}[X] = 2Var[X]\).

Exercițiul 22 Numărul de clienți care intră în magazinul Unirea pe durata unei zile este o v.a. de medie \(50\). Suma cheltuită de fiecare dintre clienții magazinului poate fi modelată ca o v.a. de medie \(30\) RON. Presupunem că sumele cheltuite de clienți, ca v.a., sunt independente între ele și independente de numărul total de clienți care intră în magazin într-o zi dată. Care este media cifrei de afaceri a magazinului în ziua considerată ?

Exercițiul 23 Știm că într-un lot de \(5\) tranzistori avem \(2\) care sunt defecți. Tranzistorii sunt testați, unul câte unul, până când cei doi tranzistori au fost identificați. Fie \(N_1\) numărul de teste pentru identificarea primului tranzistor defect și \(N_2\) numărul de teste suplimentare pentru identificarea celui de-al doilea tranzistor defect. Scrieți un tablou în care să descrieți repartiția comună a cuplului \((N_1,N_2)\). Calculați \(\mathbb{E}[N_1]\) și \(\mathbb{E}[N_2]\).

Exercițiul 24 Tabloul următor reprezintă repartiția cuplului \((X,Y)\): unde putem considera că \(X\) este numărul de copii dintr-o familie și \(Y\) este numărul de televizoare din acea familie (am considerat numai familii cu \(1-3\) copii și cu \(1-3\) televizoare).

\[ \begin{array}{l|lcr} X\backslash Y & 1 & 2& 3 \\ \hline 1 & 0.22 & 0.11 & 0.02\\ 2 & 0.2 & 0.15 & 0.1\\ 3 & 0.06 & 0.07 & 0.07 \end{array} \]

Determinați:

  1. Legile marginale ale lui \(X\) și respectiv \(Y\).

  2. Media și varianța lui \(X\) și respectiv \(Y\).

  3. Coeficientul de corelație dintre \(X\) și \(Y\).

  4. Legea condiționată a lui \(X\) la \(Y = 2\) și respectiv legea condiționată a lui \(Y\) la \(X=2\).

  5. Media și varianța acestor legi condiționate

Variabile aleatoare continue

Exercițiul 25 Considerăm:

  1. Fie \(X\) o v.a. a cărei densitate este

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c\ln\left(\frac{7}{x}\right), & 0<x<7, \\0, &\mbox{altfel}\end{array}\right. \]

Să se determine constanta \(c\) astfel încât \(f\) să fie densitate de probabilitate. Determinați funcția de repartiție și calculați \(\mathbb{P}(X>3)\).

  1. Să se determine constanta \(c\) din intervalul \((0,1)\) astfel încât funcția

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x\in[1-c,1+c]\\0, &\mbox{altfel}\end{array}\right. \]

să fie densitate de probabilitate. Calculați funcția de repartiție \(F(x)\) și trasați graficul acesteia.

Exercițiul 26 Se consideră v.a. \(X\) cu densitatea de probabilitate

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha x^2e^{-kx}, & x\geq0\\0, & x<0\end{array}\right., k>0. \]

  1. Să se determine constanta \(\alpha\).

  2. Să se afle funcția de repartiție.

  3. Să se calculeze \(\mathbb{P}(0<X<k^{-1})\).

Exercițiul 27 Arătați că:

  1. Fie \(X\) o variabilă repartizată exponențial de parametru \(\alpha\), \(X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)\). Arătați că are loc următoarea relație (proprietatea lipsei de memorie):

\[ \mathbb{P}(X>s+t|X>s) = \mathbb{P}(X>t) \]

  1. Fie \(X\) o variabilă aleatoare care verifică relația de mai sus. Arătați că \(X\) este repartizată exponențial.

Exercițiul 28 Fie cuplul de v.a. \((X,Y)\) cu densitatea de repartiție \(f_{(X,Y)}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\), unde

\[ f_{(X,Y)}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}k(x+y+1), & x\in[0,1],\, y\in[0,2]\\0, & \mbox{altfel}\end{array}\right.. \]

  1. Să se determine constanta \(k\).

  2. Să se determine densitățile marginale.

  3. Să se verifice dacă \(X\) și \(Y\) sunt independente.

  4. Să se afle funcțiile de repartiție marginale și funcția de repartiție a vectorului \((X,Y)\).

  5. Să se determine densitățile v.a. \(X|Y=y\) și \(Y|X=x\).

Exercițiul 29 Un tehnician dintr-un laborator de biologie face două măsurători considerate independente și repartizate normal de medie \(0\) și de varianță \(1\). Calculați corelația dintre valoarea cea mai mică și cea mai mare a celor două măsurători.